Tarski i pieniądz

Zanim sprawdzę listę, chcę powiedzieć, że mamy dziś niecodziennego gościa. Otóż jest to kartka papieru. To bilet NBP, bilet, który daje wstęp do wielu miejsc. I od razu mam pytanie – czy to, co napisane na tej kartce, jest fałszywe, czy prawdziwe? To pieniądz czy kawałek papieru?

No z tą prawda same problemy. Albo myślimy, że coś jest prawdziwe, gdy istnieje fakt, który mu odpowiada. Powiedzmy – mówię – policja jest zielona. Jeśli istnieje w rzeczywistości – taki fakt, to zdanie to jest prawdziwe. Drugi sposób: zdanie jest spójne z innymi, wewnątrz jakiegoś systemu: policja jest zielona, sierżant dowcipny jak szczypiorek na wiosnę, zamiast mandatu wręczyć kapustę… To taki poszlakowy system – musi się w nim zgadzać jedno z drugim. No i trzeci sposób – użyteczność. Np. policja jest zielona, więc żywa. Jeśli możemy na tym oprzeć nasze działanie, to jest to prawda.

Aż tu nagle na scenę wchodzi Alfred Tarski, jak zwykle na amfetaminie. Jeden z największych logików wszechczasów. I Tarski mówi tak – zdanie:

„Policja jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy policja jest zielona.

Tarski jednak zaraz dodaje, że to samo wyrażenie, które jest zdaniem prawdziwym w jednym języku, w innym może być fałszywe lub bezsensowne. A więc zdanie „Policja jest zielona” jest zdaniem w języku polskim i jest prawdziwe w zastosowaniu do zdań języka polskiego.

Tak więc Policja nie jest zielona ogólnie, tylko w danym języku, w danym ciągu wyrazów tego języka. Policja jest zielona jest zdaniem języka polskiego prawdziwym w tym języku.

Ale żeby mówić o prawdziwości tego zdania, tego o zielonej policji musimy mieć inny język, w którym mówimy o zdaniach tego pierwszego. Taki język nad-polski. Mamy więc język, w którym mówimy sobie Policja jest zielona – nazwijmy to język polski-gangsterski oraz drugi język, nad-polski, w którym mówimy o tym zdaniu i stwierdzamy jego prawdziwość. W języku gangsterskim zdanie policja jest zielona, którego prawdziwość będziemy definiować, należy do języka polskiego gangsterskigo, o którym mówimy. Sama definicja będzie jednak należeć do języka nad-polskiego, w którym opisujemy to zdanie.

Bo przecież zdanie w języku gangsterskim, w innym języku może nie być zdaniem, albo nie być prawdziwe.

Ta definicja prawdy odnosi się do sztucznych języków, w których sens każdego wyrażenia jest jednoznaczny – jeśli gangsterski byłby takim językiem, to zielony miałby tam zawsze to jedno znaczenie.

W ten sposób definicja Tarskiego rozwiązuje nam paradoks kłamcy. Pamiętacie? Grek Kserkses powiedział: Wszyscy Grecy zawsze kłamią. Grek Kserkses mówiąc to skłamał czy powiedział prawdę? Jeśli kłamie, to wypowiada prawdę, a więc nie jest kłamcą. Jeśli natomiast twierdzi prawdę, to znaczy, że kłamie, o tym mówi to zdanie.

Mamy tu jakby dwa języki. Pierwszy język zawiera zdanie Kserksesa: Wszyscy Grecy kłamią. Drugi to ten, którym my mówimy o tym, co mówi Kserkses – że on to powiedział. Zdanie Grek Kserkses powiedział  byłoby zdaniem nie z języka Kserksesa, tylko z nad-języka, którym się opisuje zdania Kserksesa. Kiedy pomieszamy język, którym mówimy z językiem, który go analizuje, następuje zong! Słowo kłamać jest pełni tu podwójną rolę. Pełni funkcję czasownika – Grecy kłamią i pełni funkcję oceny prawdziwości zdania. Pomieszanie tych dwóch ról prowadzi do paradoksu.

Tak to działa. Zobaczcie – na tej kartce mam napisane: „Zdanie na przeciwnej stronie kartki jest prawdziwe”, natomiast na odwrocie: „Zdanie na przeciwnej stronie kartki jest fałszywe”. Na tym samym poziomie nie mogą się odnosić do siebie. To jak dzielenie przez 0. Ocenić ich prawdziwość mogę tylko w nad-języku, metajęzyku, który może to symbolizować to pudełko. Wkładam do niego tę kartkę i mogę ocenić te zdania z osobna, z góry.

Poza tym tarski udowodnił, że można tak podzielić kulę na części, że da się z niej ułożyć dwa razy większa kulę. Wcześniej takie cudowne rozmnożenie przeprowadzono tylko na rybach i chlebie. Ale o tym kiedy indziej. A tak przy okazji – z pudełka wynika, że to zdanie na pierwszej stronie kartki było fałszywe, a pieniądz był prawdziwy.